関数とは

比例と反比例を解説する前に、まずは関数について解説をします。関数とは「ある量の値が決まると、それに応じて別の量の値も決まる関係」を表現するものです。

関数という大きな概念のなかに「比例」と「反比例」があります。たとえば「Aが増えれば増えるほど、同じ量だけBが増える」という関係のことを「比例」といいます。一方で「Aが増えれば増えるほど、同じ量だけBが減る」という関係のことを「反比例」と呼びます。

比例・反比例とは

比例と反比例について、それぞれ式やグラフとあわせて解説します。

比例の式・グラフ

比例とは、2つの量の間に比例定数がある関係のことです。比例定数とは、2つの数の積が常に一定になる数のことです。

▼比例の式

y = ax
※aは比例定数

たとえば「ある国で1円の価値が2倍になると、その国の物価も2倍になる」という関係は、比例の関係といえます。この場合の比例定数は「2」であり、1円の価値が2倍になると、物価も2倍になるということです。この場合の比例式は「y = 2x」になります。

比例のグラフは、次のように直線になります。

xの値が2倍3倍と大きくなればなるほど、yの値も2倍3倍と大きくなるのが特徴です。

反比例の式・グラフ

反比例とは、2つの量の積が常に一定になる関係のことです。比例とは異なり、2つの量は逆数の関係にあります。

▼反比例の式

y = a/x
※aは比例定数

たとえば雨が降ると、道路のぬかるみは深くなります。このときに「雨が増えれば降るほど、道路のぬかるみは深くなる（＝道路の高さが低くなる）」というのは反比例の式で表すことができます。仮に雨が2倍、3倍になり、道路の高さが1/2倍、1/3倍になる場合は「y = 1/x」になります。

反比例の比例定数は「a = xy」で求めることも可能です。上記例の場合「2 * 1/2」で比例定数は「1」であることがわかります。

反比例のグラフは、次のように双曲線になります。

xの値が2倍、3倍と大きくなればなるほど、yの値は1/2倍、1/3倍と小さくなるのが特徴です。

比例・反比例の問題例

比例反比例に関する問題例をいくつか紹介します。あわせて解答も記載しますので、まずはゆっくり考えてから答え合わせをしてみてください。

問題①

問題：次のなかでyがxに比例しているものはどれか答えなさい。

A： y = - 4x
B： y = 2/x
C： y = 2/5x
D： y = 2x - 1
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
解答：A、C

補足：比例は「y=ax（aは定数）」で表現するため、該当するものはAとCになります。

問題②

問題：下記それぞれの場合で、yをxの式で表しなさい。

A：yはxに比例し、x = 9のときy = 3である
B：yはxに反比例し、x = 5のときy = 1である
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
解答：Aはy = 3x、Bはy = 5/x

補足：
Aについて、「y = ax（aは比例定数）」の式を求めれば良いため、aの値を算出します。

9 = 3a
↓a = 3

「a = 3」になるため「y = 3x」になることがわかります。

Bについて、「y = a/x」つまり「a = xy」の式を求めれば良いため、aの値を算出します。

a = 5 × 1

「a = 5」になるため「y = 5/x」になることがわかります。

問題③

問題：

何冊かのノートの束があり、その重さは4500gでした。このノートの重さは10冊で1500gです。このとき、次の問に答えなさい。

A：ノートx冊の重さをy gとしたとき、yをxの式で表しなさい。
B：束になっているノートの冊数を求めなさい。
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
解答：Aはy = 150x、Bは30冊

補足：ノートの冊数と重さは比例関係にあり、定数は1冊あたりの重さになるため「y = 150x」ということがわかります。また、重さ（y）が4500gの場合、冊数（x）は30冊ということもわかります。

問題④

A：底辺6cm、高さxcmの平行四辺形の面積（y㎡）
B：底辺xcm、高さycmの三角形の面積（20㎡）
C：時速60kmで走る自転車が、x時間で走る道のり（y km）
D：30kmの道のりを時速